Pourquoi une fonction injective continue sur un intervalle est-elle strictement monotone?

Bon courage aux physiciens qui regardent la vidéo 😉

C'est toujours un peu confus brouillon dans mon esprit cette partie des maths. J'ai un peu de mal a saisir les subtilités. Si un espace a une norme il a une distance et s'il n'a pas de norme il faut regarder s'il est métrisable pour pouvoir définir une distance. Et la topologie est là pour généraliser les résultats enseignés en L1 par l'analyse réelle a des espaces non métrisables sur lesquels ont ne peut ni définir de norme ni définir de distance? Et la dernière preuve c'ets l'utilisation de la généralisation pour faire la preuve? il faut dire que mon souvenir s'arrete sur les espaces de Banach qui il me semblent etaient complets vectoriel et normés. Peut etre qu'il me manque une partie du cours pour bien comprendre toutes ces notions

Je crois bien avoir été intoxiqué aussi par la preuve incomplète au début des années 90( je tempere car la science semble nous dire qu'il l est très difficile de se fier à de vieux souvenirs). J' adore la preuve topologique ! Merci !

J'ai essayé de faire ma propre preuve , en supposant que f nest pas st monotone , on peut dire que lensmeble A des point de I dont la derivée s'annule nest pas vide . et puis on utilisons la continuite de f sur i jai construit un voisinage autour dun point a de A ou il existe deux element forcement v1 ,v2 v1<a<v2 et que f(v1=f(v2) ABSURDE avec injectivité . Ceci est valide ??

J'ai essayé de montrer que l'on peut se ramener au cas où on trouve un z dans la première démo en utilisant que I est un intervalle , mais je n'y suis pas arrivé, une idée ?

Attention. La négation de strictement monotone n'est pas correcte. On a f(x1)>=f(y1) et non pas >, car on peut être croissant au sens large. Toutefois, ça ne change rien à la preuve qui reste valide avec Phi(1)<=0 au lieu de <0 : le TVI continue de s'appliquer, puisque [0,1] est fermé en 1.

Je ne connaissais pas la preuve 3 mais elle est effectivement très élégante.